Символ Шлефли

Символ Шлефли — комбинаторная характеристика правильного многогранника, применяется для описания правильных многогранников во всех размерностях. Назван в честь швейцарского математика Людвига Шлефли, описавшего все правильные многогранники в евклидовом пространстве произвольной размерности.

Построение

Символ Шлефли для правильного многогранника [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] размерности [math]\displaystyle{ n }[/math] записывается в виде [math]\displaystyle{ \{p_1, p_2, p_3,\ldots p_{n-1}\} }[/math]. Он индуктивно определяется следующим образом:

1. Определим [math]\displaystyle{ p_1 }[/math]как число сторон двумерной грани многогранника [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math].
2. Выберем одну из вершин [math]\displaystyle{ P }[/math] многогранника [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] и рассмотрим все вершины [math]\displaystyle{ Q_1,\dots,Q_k }[/math], соединённые с ней ребром. Заметим, что вершины [math]\displaystyle{ Q_1,\dots,Q_k }[/math] лежат на гиперплоскости [math]\displaystyle{ H }[/math], ортогональной прямой, соединяющей центр многогранника с [math]\displaystyle{ P }[/math]. Сечение многогранника [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] с гиперплоскостью [math]\displaystyle{ H }[/math] представляет собой правильный многогранник [math]\displaystyle{ \Gamma' }[/math] размерности [math]\displaystyle{ n-1 }[/math]. Поскольку все вершины [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] равноправны, тип этого многогранника не зависит от выбора вершины [math]\displaystyle{ P }[/math]. Определим [math]\displaystyle{ p_2 }[/math] как число сторон двумерной грани многогранника [math]\displaystyle{ \Gamma^\prime }[/math].
3. Продолжая действовать таким образом до тех пор, пока получающееся сечение имеет двумерную грань, мы получим символ Шлефли многогранника [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math].

Заметим, что символ Шлефли [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного многогранника состоит из [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] целого числа, каждое из которых не меньше 3.

Примеры

Размерность пространства	Символ Шлефли	Многогранник
[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{\} }[/math]	Отрезок
[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{3\} }[/math]	Правильный треугольник
[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{4\} }[/math]	Правильный четырёхугольник
[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{5\} }[/math]	Правильный пятиугольник
[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{6\} }[/math]	Правильный шестиугольник
[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{n\} }[/math]	Правильный n-угольник
[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{3,3\} }[/math]	Правильный тетраэдр
[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{4,3\} }[/math]	Куб
[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{3,4\} }[/math]	Октаэдр
[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{3,5\} }[/math]	Правильный икосаэдр
[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{5,3\} }[/math]	Правильный додекаэдр
[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{3,3,3\} }[/math]	Пятиячейник
[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{4,3,3\} }[/math]	Тессеракт
[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{3,3,4\} }[/math]	Шестнадцатиячейник
[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{3,4,3\} }[/math]	Двадцатичетырёхъячейник
[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{5,3,3\} }[/math]	Стодвадцатиячейник
[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{3,3,5\} }[/math]	Шестисотячейник
[math]\displaystyle{ \geq 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{3,...,3\} }[/math]	Симплекс
[math]\displaystyle{ \geq 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{3,...,3,4\} }[/math]	Гипероктаэдр
[math]\displaystyle{ \geq 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{4,3,...,3\} }[/math]	Гиперкуб

См. также

• Формула Шлефли
• Эйлерова характеристика
• Правильные N-мерные многогранники

Литература

• Николай Вавилов КОНКРЕТНАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Архивная копия от 31 марта 2020 на Wayback Machine